Математика рисует

Лемниската (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

\left | (z - z_1) (z - z_2) \ldots (z - z_n) \right | = r^n,\; z = x + iy,\; r > 0.

Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов F_1, F_2, …, F_n, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний MF_1\cdot MF_2\cdot\ldots\cdot MF_n = p, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

 

ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛЛИ

Обратимся к кривой, описываемой точкой на плоскости
так, что остается неизменным произведение расстояний
этой точки до двух определенных точек
Fi и F2 той же плоскости. Такая кривая называется
лемнискатой (лемниската по-гречески значит
«ленточная»).

 

ЛЕМНИСКАТА С ЛЮБЫМ ЧИСЛОМ ФОКУСОВ

Возьмем теперь на плоскости любое количество?
точек FuF2, ..., Fn и заставим точку ? двигаться
так, чтобы для нее оставалось неизменным произвел
дение расстояний до каждой из взятых точек. Полу;*
чим кривую, форма которой будет зависеть от того,
как расположены точки Fu F2, ..., Fn друг
относительно друга и какова величина неизменного
произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n
фокусами.
Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя
фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их
по-разному и назначая ту или иную величину для
произведения расстояний, можно получать лемнискаты
самых причудливых очертаний. Будем вести острие
карандаша из некоторой точки Л, не отрывая от бумаги,
так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку
Л. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы
потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала
самое себя. Очевидно, что таким путем могут
получиться кривые, имеющие, например, очертания
человеческой головы или птицы (рис. 36). Оказывается,
что, имея такую произвольную кривую, можно так
подобрать число ? и расположение фокусов
F \, * 2» · · ·, гп
и назначить такую величину для неизменного
произведения расстояний
MFX-MF2 ... MFn = p,
что соответствующая лемниската на глаз не будет
отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные
отклонения точки, описывающей лемнискату, от
нарисованной кривой не будут превосходить ширину
карандашного штриха (карандаш можно заранее
отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень
узким). Этот замечательный факт, говорящий о
необычайном разнообразии и богатстве форм лемнискат
с многими фокусами, доказывается совершенно строго,
но очень сложно, при помощи высшей математики.

 

Построение аналитических выражений… для любых объектов — от теоремы Пифагора до розовой пантеры и сэра Исаака Ньютона в Wolfram Language (Mathematica)

...Предположим, что вы делаете линии рисунка карандашом на листке бумаги и допустим, что рисуете только линии; никакую штриховку и никакое заполнение не делаете. Тогда рисунок будет выполнен из ряда сегментов кривой. Математическое понятие, такое как ряды Фурье позволяет нам записывать конечную математическую формулу для каждого из этих линейных сегментов, которые будут описывать их как угодно точно.

 

Примечание: ряды Фурье — это не единственный способ задания аппроксимирующих кривых. Мы могли бы использовать вейвлеты или сплайны, или кодировать кривые кусочно через круговые сегменты. Или при достаточном терпении, с помощью универсальности дзета-функции Римана, мы могли бы найти любую фигуру внутри критическую полосы. (Как ни удивительно, любое возможное (достаточно гладкое) изображение, такое как Иисус на тосте, существует при некоторых значениях дзета-функции Римана Дзета(s) в полосе 0?Re(s)?1, но у нас нет конструктивного способа, чтобы найти его.)